Би вээр оюутнуудад магадлалын аливаа бодлогыг санамсаргүй хувьсагч, түүний тархалттай холбон томьёолж бодох шаардлага тавьдаг билээ. Учир нь санамсаргүй хувьсагч ашигласнаар түүний тархалтын функц юм уу нягтын функц гэдэг магадлалын хэмжээс тодорхойлох цоо шинэ үүд хаалга нээгддэг билээ. Математикийн функцүүдийг тоо томшгүй олон янзаар зохиож болдог шиг хэдийгээр санамсаргүй хувьсагчийн тархалтын функц дээр тодорхой нөхцөл тавигддаг ч гэлээ мөн адил хэчнээн л бол хэчнээн янзын функц байж болдог. Өөрөөр хэлбэл санамсаргүй үзэгдлийн магадлал буюу боломжийг хэмжих хэмжээс эцэс төгсгөлгүй олон болно. Харин санамсаргүй хувьсагч ашиглахгүй гэвэл геометр хэмжээс, сонгодог хэмжээс, статистик хэмжээс гэсэн дулимагхан хэдэн хэмжээс л цаана нь үлдэнэ. Дулимагхан гэсний учир нь геометр хэмжээс, сонгодог хэмжээс зэрэг энгийн хэмжээсүүдийг зөвхөн туршилтын үр дүн бүр ижил боломжтой үед л ашиглаж болдогт оршино. Гэтэл бодит амьдрал дээр туршилтаас гарах үр дүн бүрийн боломж нь ихэнхдээ харилцан адилгүй байдаг. Чухам иймээс л санамсаргүй үзэгдэл, процессыг судлах хүчирхэг арга хэрэглүүр болох санамсаргүй хувьсагч, түүний тархалтыг бодлого бодохдоо ашиглахыг оюутнуудад тулган шаарддаг юм.

Жишээ болгон Д.Бямбажав зохиогчтой Магадлалын онол, математик статистик 1999 сурах бичгийн 2 дугаар бүлгийн 10 дугаар бодлогын в хувилбарт буй Бертраны парадоксын нэг хувилбарыг авч үзэв. Бодлогын санааг алдагдуулалгүйгээр дараах байдлаар өөрчлөн томьёоллоо.

Тойрогт санамсаргүйгээр хөвч татаж улмаар уг хөвчийн уртын хэмжээг илэрхийлэх \(L\) гэсэн санамсаргүй хувьсагч зохиожээ. Хэрэв хөвчийн нэг үзүүрийг бэхэлсэн бөгөөд нөгөө үзүүр нь тойрог дээр жигд тархсан ба тойргийн радиусыг R гэвэл \(P(X\geq R)\) магадлалыг ол.

Хөвчийн нөгөө үзүүрийн цэгийг хаанаас сонговол \(L\geq R\) байхыг дараах зурагт харуулав.

Яг \(L=R\) нөхцөлд харгалзах цэгүүдийн геометр байрыг тодорхой болгохын тулд дараах нэмэлт байгуулалт хийв.

Хэрэв магадлалын геометр хэмжээс ашиглаж бодвол дээрх байгуулалтын дараа \(\frac{2\pi-2\frac{\pi}{3}}{2\pi}=\frac{2}{3}\) гээд л дуусгана. Гэвч дээр дурдсанчлан уг бодлогыг ингэж бодвол бодсонд тооцохгүй. Ингээд санамсаргүй хувьсагч ашигласан бодолтоо цааш үргэлжлүүлье.

Хөвчийн үзүүрийн цэгийн байрлалыг туйлын координатын системийн тусламжтай зааж болно. Ингэхдээ туйлын тэнхлэгийг тойргийн төвөөс бэхэлсэн цэгээр дайруулан татвал зохимжтой. Тэгвэл хөвчийн нөгөө үзүүрийн байрлалыг зөвхөн \(\varphi\) туйлын өнцгөөр тодорхойлж болно.

Хөвчийн энэхүү ''нөгөө'' үзүүр тойрог дээр жигд тархалттай тул \(\varphi\) хувьсагчийг \([0,2\pi)\) завсарт жигд тархалттай буюу
\[F_\varphi(x)=
\begin{cases}
1, & x > 2\pi \\
\frac{x}{2\pi}, & 0 < x \leq 2\pi \\
0, & x \leq 0
\end{cases}
\]тархалтын функцтэй гэж үзнэ. Харин \(\varphi\) хувьсагчийн зүгээс хоёр дахь зургийг харвал \(\{L\geq R\}\) үзэгдэл нь \(\left\{\frac{\pi}{3}\leq\varphi\leq2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}\right\}\) үзэгдэлтэй эквивалент юм. Иймд
\begin{align*}
P(L\geq R) & = P\left(\frac{\pi}{3}\leq\varphi\leq\frac{5\pi}{3}\right) \\
& = F_\varphi\left(\frac{5\pi}{3}\right) - F_\varphi\left(\frac{\pi}{3}\right) \\
& = \frac{\frac{5\pi}{3}}{2\pi} - \frac{\frac{\pi}{3}}{2\pi} \\
& = \frac{2}{3}
\end{align*}
хариу гарна.

Иймэрхүү бодлогыг санамсаргүй хувьсагч ашиглаж бодох нь илүү их хар ажилтай мэт санагдах боловч ямар ч эргэлзээ, алдаагүй бодоход ач тустай юм. Түүнчлэн магадлалын хялбар хэмжээсээр шийдэх боломжгүй буюу илүү хүнд бодлогыг санамсаргүй хувьсагчийн тусламжтай бодох дадлага сургууль болох ач холбогдолтой. Иймд цаашид тааралдах магадлал, статистикийн аливаа асуудлыг санамсаргүй хувьсагч ашиглаж шийдэхийг эрмэлзээрэй.